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Análisis Matemático 66

2025 CABANA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Estudio de funciones

EJERCICIO 4.1

Realizar el análisis completo de las siguientes funciones ff definidas por y=f(x)y=f(x) teniendo en cuenta:

- Dominio e Imagen;
- Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas;
- Extremos locales y puntos silla;
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento;
- Graficar.

a) f(x)=13x3+12x2−6x+1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}-6 x+1
b) f(x)=x3−3x+1f(x)=x^{3}-3 x+1
c) f(x)=3x4+4x3−12x2−1f(x)=3 x^{4}+4 x^{3}-12 x^{2}-1
d) f(x)=x+4xf(x)=x+\frac{4}{x}
e) f(x)=−3(x−1)2f(x)=-\frac{3}{(x-1)^{2}}
f) f(x)=x9−xf(x)=x \sqrt{9-x}
g) f(x)={x2−1 si x≤22(x−3)2+1 si x>2f(x)= \begin{cases}x^{2}-1 & \text { si } x \leq 2 \\ 2(x-3)^{2}+1 & \text { si } x>2\end{cases}
h) f(x)=3xln⁡(x)f(x)=3 x \ln (x)
i) f(x)=ex2+xf(x)=e^{x^{2}+x}
j) f(x)=xe−x2−xf(x)=x e^{-x^{2}-x}
k) f(x)=e1/xf(x)=e^{1 / x}
1) f(x)=x2ln⁡(x)f(x)=x^{2} \ln (x)
m) f(x)=e−x2f(x)=e^{-x^{2}}
n) f(x)=x1+x2f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}
ñ) f(x)=11−x2f(x)=\frac{1}{1-x^{2}}
EJERCICIO 4.2

De los siguientes ítems del ejercicio 1, calcular: raíces, conjunto de positividad y negatividad - d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ

d) f(x)=x+4xf(x)=x+\frac{4}{x}
e) f(x)=−3(x−1)2f(x)=-\frac{3}{(x-1)^{2}}
f) f(x)=x9−xf(x)=x \sqrt{9-x}
g) f(x)={x2−1 si x≤22(x−3)2+1 si x>2f(x)= \begin{cases}x^{2}-1 & \text { si } x \leq 2 \\ 2(x-3)^{2}+1 & \text { si } x>2\end{cases}
h) f(x)=3xln⁡(x)f(x)=3 x \ln (x)
i) f(x)=ex2+xf(x)=e^{x^{2}+x}
j) f(x)=xe−x2−xf(x)=x e^{-x^{2}-x}
k) f(x)=e1/xf(x)=e^{1 / x}
l) f(x)=x2ln⁡(x)f(x)=x^{2} \ln (x)
m) f(x)=e−x2f(x)=e^{-x^{2}}
n) f(x)=x1+x2f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}
ñ) f(x)=11−x2f(x)=\frac{1}{1-x^{2}}
EJERCICIO 4.3

En los siguientes ítems del ejercicio 1, calcular intervalos de concavidad positiva e intervalos de concavidad negativa y puntos de inflexión. - a, b, c, d, e, f, g, h, i, k

a) f(x)=13x3+12x2−6x+1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}-6 x+1
b) f(x)=x3−3x+1f(x)=x^{3}-3 x+1
c) f(x)=3x4+4x3−12x2−1f(x)=3 x^{4}+4 x^{3}-12 x^{2}-1
d) f(x)=x+4xf(x)=x+\frac{4}{x}
e) f(x)=−3(x−1)2f(x)=-\frac{3}{(x-1)^{2}}
f) f(x)=x9−xf(x)=x \sqrt{9-x}
g) f(x)={x2−1 si x≤22(x−3)2+1 si x>2f(x)= \begin{cases}x^{2}-1 & \text { si } x \leq 2 \\ 2(x-3)^{2}+1 & \text { si } x>2\end{cases}
h) f(x)=3xln⁡(x)f(x)=3 x \ln (x)
i) f(x)=ex2+xf(x)=e^{x^{2}+x}
j)
k) f(x)=e1/xf(x)=e^{1 / x}
EJERCICIO 4.4

Dadas las siguientes funciones ff definidas por y=f(x)y=f(x), indicar imagen, extremos absolutos y relativos en el dominio indicado en cada ítem. Graficar.

a) f(x)=x5−20x+2,xϵ[−2,3]f(x)=x^{5}-20 x+2, x \epsilon[-2,3]
b) f(x)=x5−20x+2,x∈[−1,3]f(x)=x^{5}-20 x+2, x \in[-1,3]
c) f(x)=x+1x2+1,x∈[−1,12]f(x)=\frac{x+1}{x^{2}+1}, x \in\left[-1, \frac{1}{2}\right]
d) f(x)=2x2−1,x∈[−2,3]f(x)=\frac{2}{x^{2}-1}, x \in[-2,3]
e) f(x)=sen⁡2(x),xϵ[−π,3π]f(x)=\operatorname{sen}^{2}(x), x \epsilon[-\pi, 3 \pi]
f) f(x)=cos⁡2(x2),xϵ[0,2π]f(x)=\cos ^{2}\left(\frac{x}{2}\right), x \epsilon[0,2 \pi]
EJERCICIO 4.5

Dado el gráfico de f′f^{\prime}. Indicar el intervalo de crecimiento y decrecimiento de ff, y extremos relativos.

a)
b)

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