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Análisis Matemático 66

2024 CABANA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Estudio de funciones

EJERCICIO 4.1

Realizar el análisis completo de las siguientes funciones $f$ definidas por $y=f(x)$ teniendo en cuenta:

- Dominio e Imagen;
- Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas;
- Extremos locales y puntos silla;
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento;
- Graficar.

a) $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}-6 x+1$
b) $f(x)=x^{3}-3 x+1$
c) $f(x)=3 x^{4}+4 x^{3}-12 x^{2}-1$
d) $f(x)=x+\frac{4}{x}$
e) $f(x)=-\frac{3}{(x-1)^{2}}$
f) $f(x)=x \sqrt{9-x}$
g) $f(x)= \begin{cases}x^{2}-1 & \text { si } x \leq 2 \\ 2(x-3)^{2}+1 & \text { si } x>2\end{cases}$
h) $f(x)=3 x \ln (x)$
i) $f(x)=e^{x^{2}+x}$
j) $f(x)=x e^{-x^{2}-x}$
k) $f(x)=e^{1 / x}$
1) $f(x)=x^{2} \ln (x)$
m) $f(x)=e^{-x^{2}}$
n) $f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}$
ñ) $f(x)=\frac{1}{1-x^{2}}$
EJERCICIO 4.2

De los siguientes ítems del ejercicio 1, calcular: raíces, conjunto de positividad y negatividad - d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ

d) $f(x)=x+\frac{4}{x}$
e) $f(x)=-\frac{3}{(x-1)^{2}}$
f) $f(x)=x \sqrt{9-x}$
g) $f(x)= \begin{cases}x^{2}-1 & \text { si } x \leq 2 \\ 2(x-3)^{2}+1 & \text { si } x>2\end{cases}$
h) $f(x)=3 x \ln (x)$
i) $f(x)=e^{x^{2}+x}$
j) $f(x)=x e^{-x^{2}-x}$
k) $f(x)=e^{1 / x}$
l) $f(x)=x^{2} \ln (x)$
m) $f(x)=e^{-x^{2}}$
n) $f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}$
ñ) $f(x)=\frac{1}{1-x^{2}}$
EJERCICIO 4.3

En los siguientes ítems del ejercicio 1, calcular intervalos de concavidad positiva e intervalos de concavidad negativa y puntos de inflexión. - a, b, c, d, e, f, g, h, i, k

a) $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}-6 x+1$
b) $f(x)=x^{3}-3 x+1$
c) $f(x)=3 x^{4}+4 x^{3}-12 x^{2}-1$
d) $f(x)=x+\frac{4}{x}$
e) $f(x)=-\frac{3}{(x-1)^{2}}$
f) $f(x)=x \sqrt{9-x}$
g) $f(x)= \begin{cases}x^{2}-1 & \text { si } x \leq 2 \\ 2(x-3)^{2}+1 & \text { si } x>2\end{cases}$
h) $f(x)=3 x \ln (x)$
i) $f(x)=e^{x^{2}+x}$
j)
k) $f(x)=e^{1 / x}$
EJERCICIO 4.4

Dadas las siguientes funciones $f$ definidas por $y=f(x)$, indicar imagen, extremos absolutos y relativos en el dominio indicado en cada ítem. Graficar.

a) $f(x)=x^{5}-20 x+2, x \epsilon[-2,3]$
b) $f(x)=x^{5}-20 x+2, x \in[-1,3]$
c) $f(x)=\frac{x+1}{x^{2}+1}, x \in\left[-1, \frac{1}{2}\right]$
d) $f(x)=\frac{2}{x^{2}-1}, x \in[-2,3]$
e) $f(x)=\operatorname{sen}^{2}(x), x \epsilon[-\pi, 3 \pi]$
f) $f(x)=\cos ^{2}\left(\frac{x}{2}\right), x \epsilon[0,2 \pi]$
EJERCICIO 4.5

Dado el gráfico de $f^{\prime}$. Indicar el intervalo de crecimiento y decrecimiento de $f$, y extremos relativos.

a)
b)

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